pant

В продолжение темы угла (и его определения) изложенной ранее. Есть предположение — если длина окружности пропорциональна её радиусу (или диаметру), то наверняка есть пропорциональность длин дуг-рёбер к радиусу (диаметру) многогранника, особенно правильного. Т.е., иными словами — если плоский угол, это доля окружности (ограниченной плоскости); то дуга на поверхности сферы, вполне может быть угловой мерой сферической "плоскости"(ограниченной поверхностью сферы пространства). Судите сами — в много-угольниках (правильных!) все вершины описываются окружностью и представляют из себя плоскость, поскольку все (вершины) находятся на окружности, а окружность не может быть не плоской. Кроме того, есть ещё одна пропорциональная зависимость — у много-угольника, кроме описанной, есть ещё и вписанная(!) окружность, которая находится в той же плоскости. При всём, при этом, УГЛОМ (плоским; на плоскости) является доля окружности — ДУГА(!) выраженная либо в градусах (как 1/360 доля окружности), либо в радианах (как количество радиусов на данной окружности). Коэф. pi — высчитан математически(!) и в десятичной системе он равен 3,14... , кто знает, чему он (коэф.пропорциональности; зависимость длины окружности от её радиуса/диаметра) будет равен в другой системе исчисления!? Та же аналогия и для много-гранника (правильного), в котором также есть и прямые рёбра, и вершины, описанные сферической поверхностью (вместо плоскости), и вписанная сфера ... короче, дуги соединяющие вершины, все-непременно находятся на поверхности сферы, => а значит являются угловой мерой этой поверхности(!). Главное условие в том, чтобы центр этих дуг был единым и находиться он должен в центре сферы (тогда и все вершины будут равноудалены от единого центра). Если центр дуги, между вершинами, находится не в центре сферы, но дуга лежит на этой сфере, то дуга является мерой плоского угла много-угольника — грани, все вершины которой, лежат на пов-ти сферы... И ещё в довесок — если много-угольник, это замкнутая "ломанная", то её вполне можно представить в виде совокупности хорд, естественно имеющих свои дуги, а значит и центры этих дуг ... В итоге => любая линия (прямая она или кривая), это совокупность точек (причём точек имеющих бесконечно малую величину, а поскольку она(величина) есть - то и размер, и объём...), или иначе говоря - совокупность отрезков имеющих некую величину(мерную), объёмность => а значит и угловую меру -> дуги и их центры -> хорды...

Третья gif-серия трилогии - Додекаэдр_20х(3R') - из "плоскости" в "сферу" и обратно.

Вторая gif-серия трилогии - Гексаэдр_8х(3R') - из "плоскости" в "сферу" и обратно.

Первая gif-серия трилогии - Тетраэдр_4х(3R') - из "плоскости" в "сферу" и обратно.

Сворачивание/разворачивание "плоскости" 4х(3R') в/из "сферу" — плоскость/объём (тетраэдр ["полу'куб"]). ... 4х(3R') в "линейном" исполнении. GIF-ка для просмотра в движении - жми на картинку.

... тоже сетка, но с 4-угольной ячейкой из 4R'(p-Сфер). Углы также найдены эмпирически.

Несколько видов "плоской, 2-мерной" сетки (на плоскости "Сверху"), с трансформируемой (по полярной оси А[Y]) 6-угольной ячейкой, из пар 3R'(p-Сфер), с R-векторами в виде "1-мерных" брусков. Указанные углы найдены "на глазок".

Внутренняя и внешняя систематизация (построение структуры пространства). Радиус [р-Сферы] - мера абсолютной противоположности [центра] и её оболочки-поверхности; поверхность и центр сферы всегда равноудалены относительно друг друга - внутренняя одномерная система (1R). Две одномерные(1R) р-Сферы образуют только [отрезок прямой] - внешняя одномерная система (1D'). Два абсолютно противоположных друг другу направления(луч, вектор) - внутренняя двумерная система (2R). Две абсолютные двумерные(2R) р-Сферы образуют только [линию прямую] - внешняя двумерная система (2х1D'). Три абсолютно противоположных друг другу направления (луч, вектор) - внутренняя трёхмерная система (3R). Три касающиеся друг друга, двумерные(2R') р-Сферы образуют (треугольник) [плоскость] - внешняя трёхмерная система (3х2D'). Четыре абсолютно противоположных (независимых) направления - внутренняя четырёхмерная система (4R). Четыре касающиеся друг друга трёхмерные(3R') р-Сферы образуют [объём] - внешняя четырёхмерная система (4х3D'). Не надо путать внутреннюю систематизацию 4R -> 4-угольник и 4-гранник; 6R -> 6-угольник и 6-гранник - они разные! только одна из них абсолютная - тетраэдр.

Угол — это дуга окружности; если на окружности 1 точка и соответственно 1 луч к ней — 1 угол/дуга - полные 360°; если на окружности 2 точки, то и соответственно 2 луча к ним — 2 угла/дуги; важно не путать точку отсчёта(т.0) и точку на окружности, точку дуги, ... на окружности; есть угол/дуга треугольника и шестиугольника — они разные. Именно по-этому угловая мера меридиана(на глобусе) соответствует прямо'линейным её хордам - они все одинаковые, как и лучи-радиусы к "узловым" точкам; чего нельзя сказать о параллелях - угловые меры одинаковые, а прямо'линейные хорды меняют своё значение от min(0) до max(1/360 экватора); к тому же, т.0 параллелей, из которой исходят лучи-радиусы к "узлам", гуляет по полярной оси, а не находится в постоянной(фиксированой) т.0 гео.системы.

Многие люди до сих пор путают, относительно чего мерить "плоский" угол. И потому в многоугольниках (особенно в правильных) угол мерят по шаблону (относительно общего центра(т.0) и дугой между радиусами(лучами) из него), при этом т.0 шаблона, прикладывают естественно к вершине измеряемого "угла"(вершине многоугольника), что находится на описываемой окружности, а не в центре её (а это подмена положения точки отсчёта - т.0), что приводит к росту суммарной величины углов многоугольника, хотя она должна быть постоянной - 360°, т.к. линия (ломаная) замкнута в "сумму дуг" одной окружности (для правильных многоугольников). Так чем мерится угол? - разве не линейной мерой дуги или её хордой-прямым отрезком? — называемых градусами и (тем более) радианами. Неважно где находятся вершины треугольника на описываемой окружности, главное — "плоский" угол — это дуги с общим центром, делящих окружность по количеству исходящих из него лучей к вершинам треугольника и сумма величин углов не 180°, а как и положено 360°.

В чём суть измерений в геометрии и их взаимосвязь с количеством измерений - мерностей пространства. На мой взгляд всё начинается с НАПРАВЛЕНИЯ(ний), и последовательностью или одновременностью процесса измерений. Человек, как и материальное тело, физически не может двигаться более чем в одном направлении (производить за раз более одного пространственного измерения); для ускорения процесса, человек изобрёл автоматические системы и механизмы, которые производят несколько(более одного) действий (перемещений, измерений ...) одновременно, параллельно, а не последовательно. В любом случае, не надо забывать, что любое действие (движение, перемещение ...) совершенно не предполагает и не обязывает наличие параллельного противодействия вне созданной искусственной системы. Но человеку свойственна любознательность и логически рассуждая он всегда находит противоположность любому действию, даже если не может его выполнить (одновременно) - типа, план "Б", запасной вариант, аварийный выход, если не так, то эдак, если не чёрное, то белое, если НЕТ - значит ДА ... и т.д. Количество этих противоположностей не ограничено! Так-же как и в геометрии - не ограниченно количество измерений и/или направлений; но их совокупность используется человеком для определения и знания (и использования) в разных случаях и соответственно с разными терминами-названиями: первый из них - это одно единственное направление(измерение) - длина, расстояние, ... второй - два ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ направления(измерения) - ?, ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ, угол между направлениями определяет плоскость, площадь, ... третий - три ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ направления(измерения) - ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ единой плоскости(площади), т.к. между направлениями непременно существует угол, определяющий плоскость, и таких плоскостей три, и только при полной, абсолютной "противоположности"-идентичности, равенстве углов между направлениями - это треугольник определяющий единую плоскость, с общей точкой отсчёта находящейся на этой же плоскости (центр окружности объединяющий все три конечные точки направлений). четвёртый - четыре ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ направления(измерения) - ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ совокупности (частных случаев) длин и плоскостей, определяющих объём, ёмкость. Думаю не стоит объяснять "частность" случая на примере трёх направлений с общей точкой отсчёта, удалённой(!) от "единой" плоскости, с образованием дополнительных трёх плоскостей и полной, абсолютной "противоположности"-идентичности, равенстве углов между направлениями - это тетраэдральная система, и есть 4D система. Это основные системы, на основе которых выполняются абсолютно все построения, включая классическую псевдо 3D, с тремя перпендикулярно направленными 2D осями.

Вполне себе реальная 4D геометрия тела - видео(сырец)

"Сваял" С36 в 4D системе, поворотом 4-х сф.треугольников — в результате всё тот-же (почти) куб ("куб.ок" С12)

aleksandr128, спасибо что напомнили и ... я не думаю что запаздываю, поскольку по большей части мне интересен вопрос геометрии ФОРМ и всё что с этим связано (а связано с Формами практически ВСЁ). Знания дошедшие до нас от Древних (например законы Архимеда) не могут быть запоздалыми, но трактовать их можно по разному, что и считается их якобы обновлением, хотя по сути, мы их просто периодически пере'открываем.

Очерк об использовании ФОРМЫ кольца Мёбиуса Секреты кольца Мёбиуса